不定方程组解法赋0法

　　刚刚结束的2026年国家公务员考试，考查一个知识点不定方程。其本质是方程的考查，有两种形式，一种定方程、另一种是不定方程。其中不定方程组是难点所在。

　　（一）什么是不定方程组

　　不定方程组，指的是未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到限制的一类方程。常见有三个未知数，两个等式联立而成。

　　【示例】甲买了3 支签字笔、7 支圆珠笔和 1 支铅笔，共花了 32 元，乙买了 4 支同样的签字笔、10 支圆珠笔和 1 支铅笔，共花了 43 元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共用多少钱?

　　A. 21 元 B. 11 元

　　C. 10 元 D. 17 元

　　分析本题不难发现，设签字笔、圆珠笔、铅笔的单价分别为 x、y、z 元，得到不定方程组 3x+7y+z=32、4x+10y+z=43，这样联立而成的方程就是不定方程组。

　　（二）什么是赋0法

　　我们可以令其中的未知数y=0，进而求解出x=11，z=-1。整体的结果x+y+z=10。那么为什么能用赋0法的呢。对于这个例题，中学的时候采用的是配系数法的方法。就是换元的思想。实际上这个题目， 3x+7y+z=32、4x+10y+z=43。将两式进行变形得到（x+y+z）+2(x+3y)=32、 （x+y+z）+3（x+3y）=43。令 a=x+y+z、b=x+3y，可得 a+2b=32、a+3b=43，解得 a=10、b=11。根据换元法的解题过程，经过换元之后，大家会发现最终形成的是一个二元一次方程组。

　　这种方程是有唯一解的。a的值是唯一且确定的，也就意味着 x+y+z 的值是唯一确定的。因此，无论 x、y、z 的值如何取，都不会影响最终的结果（注意与 x、y、z 是不是一定要取整数无关），所以我们可以采用赋0法。

　　（三）赋0法什么时候不适用

　　而对于不能采用插值法的不定方程组求整体类的问题，则无法通过换元形成二元一次方程组。

　　【例 2】某次数学竞赛准备了 22 支铅笔作为一、二、三等奖的奖品，原计划一等奖每人发 6 支，二等奖每人发 3 支，三等奖每人发 2 支。后来又改为一等奖每人发 9 支，二等奖每人发 4 支，三等奖每人发 1 支。问有多少人获奖？

　　A. 21 元 B. 11 元

　　C. 10 元 D. 17 元

　　设一、二、三等奖的人数分别为 x、y、z 人，得到不定方程组 6x+3y+2z=22、9x+4y+z=22。

　　同样的，我们尝试一下换元法，将两式进行变形得到 2（x+y+z）+(4x+y)=22、（x+y+z）+（8x+3y）=22，无法使用换元法。其实也就意味着在这个问题中，由于系数设置的原因，x+y+z不能取得唯一确定解。因此如果使用赋0法，只能得到一组特殊解。若这组特殊解不能满足题中隐藏的特定条件（比如求最值、未知数必须为整数等），则会导致题目无答案、甚至选错答案。

　　综上所述，如果能够利用换元法，则必然能够用插值法。若无法使用换元法，则无法使用插值法。当然本质上还是因为线性代数中行列式的秩，也就是自由度。不过用这种方式解释可以较为容易理解。