数量关系中的工程问题

　　数量关系中的工程问题是数学和实际应用中经常遇到的一类问题，主要涉及工作量（或任务量）、工作效率和工作时间三个核心要素。以下是对工程问题的详细解析：

　　一、基本概念

　　1.工作量：指需要完成的工程或任务的总量，可以是具体的数值（如生产1000个零件），也可以是抽象的概念（如完成一项工程的全部工作）。

　　2.工作效率：指单位时间内完成的工作量，它反映了完成工作的快慢程度。工作效率可以用具体数值表示（如每小时生产50个零件），也可以用比例或分数表示。

　　3.工作时间：指完成工作所需的总时间，可以是具体的天数、小时数等。

　　二、核心公式及比例关系

　　核心公式：工作量 = 工作效率 × 工作时间

　　比例关系：

　　时间一定时，效率和工作量成正比。

　　效率一定时，时间和工作量成正比。

　　工作量一定时，效率和时间成反比。

　　三、题型分类及解题方法

　　1.基本工程问题：

　　已知工作量、工作效率、工作时间中任意两种及以上量的具体数值，结合题意找到这几个量的前后变化，然后根据公式列式进行基础计算或结合方程法求解。

　　解题方法：基础计算、方程法。

　　2.赋值技巧类问题：

　　①给定时间型：根据题目中给出的时间信息，对工作总量进行赋值（通常为时间的最小公倍数），然后计算各工作效率，并根据工作过程列方程求解。

　　②效率制约型：根据题目中给出的效率比例或关系，对工作总量或效率进行赋值，然后结合工作时间和工作量进行计算。

　　解题方法：赋值法、方程法、比例法。

　　3.特殊题型：

　　①双人双工程问题：涉及两个工程队或两个人分别完成不同部分工作的情况。

　　工程问题与经济问题的结合：涉及费用、成本等经济因素的情况。

　　②工程问题与最值问题结合：需要在满足一定条件下求工作量、工作时间或工作效率的最大值或最小值。

　　③工程问题与日期循环问题结合：涉及周期性工作的情况。

　　解题方法：根据具体题型，综合运用赋值法、方程法、比例法以及逻辑推理等方法。

　　四、例题详解

　　【例1】有一批规格为1吨的钢锭，计划安排用8辆载重9吨的汽车运送，要求不得对钢锭进行切割，预计每辆车运送25次正好运完，每辆车运送了13次之后，甲方要求增派若干辆载重24吨的汽车，以能够一次将剩下的钢锭全部运完。问需要增派多少辆汽车？

　　A33

　　B34

　　C35

　　D36

　　【解析】总钢锭量用8辆载重9吨的汽车25次刚好运完，则可得总钢锭量=8×9×25吨。前13次所运输的钢锭共计=8×9×13吨。剩余钢锭需一次性运输完毕，设需增加载重24吨的汽车x辆，则可得方程：（8×9×25）-（8×9×13）=8×9+24x，方程化简后得：11×72=24x，解得x=33，即需要增派33辆。故正确答案为A。

　　【例2】一项工程，甲、乙合作12天完成，乙、丙合作9天完成，丙、丁合作12天完成。如果甲、丁合作，则完成这项工程需要的天数是：

　　A16

　　B18

　　C24

　　D26

　　【解析】题干只给出了合作所需时间，可以给工程总量赋值，设工程总量为12与9的最小公倍数36，则合作效率分别为：甲＋乙＝36÷12＝3，乙＋丙＝36÷9＝4，丙＋丁＝36÷12＝3。所以甲＋丁＝（甲＋乙）＋（丙＋丁）－（乙＋丙）＝2，甲、丁合作的天数为36÷2＝18天。故正确答案为B。

　　【例3】一项工程计划300天完工，开工100天后，由于施工人员减少，工作效率下降20%，问完成该工程比原计划推迟了多少天？

　　A40

　　B50

　　C60

　　D70

　　【解析】假定原效率为10，因此工程总量为3000。开工100天后还剩余工作量为2000，此时效率变为10×（1–20%）＝8，需要时间为2000÷8＝250天，原计划300天完工，现在100＋250＝350天完工，所以完成该工程比原计划推迟了50天。

　　故正确答案为B。

　　五、解题技巧与注意事项

　　1.审题清晰：准确理解题目中的信息，明确已知量和未知量。

　　2.灵活赋值：在解决赋值技巧类问题时，合理赋值可以简化计算过程。

　　3.列方程求解：对于复杂问题，可以列方程进行求解，注意方程的正确性和解的合理性。

　　4.注意单位：在计算过程中，注意单位的一致性和换算。

　　5.避免陷入误区：注意题目中的陷阱和迷惑性条件，避免陷入误区。例如，在多人合作时，要注意他们各自的工作效率是否会受到其他人的影响而变快或变慢。

　　综上所述，数量关系中的工程问题是一类涉及工作量、工作效率和工作时间三个核心要素的应用题。通过理解基本概念、掌握核心公式及比例关系、熟悉题型分类及解题方法以及注意解题技巧与注意事项，我们可以更好地解决这类问题。